GEORG CANTOR

BIO
INFINI 1 - 2
DOSSIER
SCIENCE
TRANSFINI

Georg Cantor


Georg Cantor et la découverte des infinis.


"L'essence des mathématiques, c'est la liberté"


"Toutes les prétendues preuves contre la possibilité des nombres infinis actuels sont fautives, en ce qu'elles exigent a priori, ou mieux imposent, aux nombres en question, toutes les propriétés des nombres finis. Alors que les nombres infinis doivent constituer (par opposition aux nombres finis) une espèce entièrement nouvelle de nombres, dont l'essence est totalement dépendante de la nature des choses."

Georg Cantor a baptise l'infini par la premiere lettre de l'alphabet hebreu !

, qui se lit "aleph 0", l’infini des nombres entiers ou l'infini dénombrable



3 mars 1845 [St-Petersbourg] - 6 janvier 1918 [Halle]

Il fallait probablement être un peu fou pour pouvoir imaginer que tous les ensembles infinis n'ont pas le même nombre d'éléments, pour définir des entiers infinis, les ordonner, et même les additionner. Georg Cantor était ce fou-là, et ses idées révolutionnaires n'ont pas manqué de détracteurs.

Georg Cantor est né le 3 mars 1845 à St Petersbourg. Son père est commerçant prospère, sa mère est issue d'une famille de musiciens; tous les deux sont très cultivés, et donnent à leur fils une éducation sérieuse, religieuse, et bercée par les arts. En 1866, la famille s'installe en Allemagne, où elle espère trouver un climat plus favorable à la santé du père.

Georg Cantor se révèle être un étudiant brillant, notamment dans les mâtières manuelles. Malgré les injonctions de son père, qui rêve d'en faire un ingénieur, il part en 1862 à Berlin étudier les mathématiques, où ses maîtres sont Weierstrass et Kronecker. Il soutient son doctorat en 1867 (sur la théorie des nombres), mais n'obtient pas immédiatement un poste complet. En 1874, il se marie (il aura 6 enfants).

Les premières recherches post-doctorales de Cantor sont consacrées à la décomposition des fonctions en sommes de séries trigonométriques (les célèbres séries de Fourier) et particulièrement à l'unicité de cette décomposition. Afin de résoudre complètement ce difficile problème, il est amené à introduire et à étudier des ensembles dits exceptionnels. Cela le conduit à définir en 1872 très précisément ce qu'est un nombre réel, comme limite d'une suite de nombres rationnels; parallèlement, son ami Dedekind donne la même année une autre définition de la droite des réels, à partir des coupures. Cantor et Dedekind constatent à cette occasion qu'il y a beaucoup plus de réels que de rationnels, mais il n'y a pas jusque-là de définition mathématique à ce "beaucoup plus".

En 1874, dans le prestigieux Journal de Crelle, Cantor donne une définition du nombre d'éléments d'un ensemble infini qui prolonge naturellement celle du cardinal d'un ensemble infini, qui prolonge celle du cardinal d'un ensemble fini. Il en découle, jusqu'en 1897, une succession de découvertes étranges : il y autant d'entiers pairs que d'entiers tout court, autant de points sur un segment que dans un carré, beaucoup plus de nombres transcendants que de nombres rationnels. Cette hiérarchie dans les ensembles infinis conduit progressivement Cantor à définir des nouveaux nombres, les ordinaux transfinis, et à définir une arithmétique sur ces nombres.

Les découvertes de Cantor soulèvent la contestation des mathématiciens constructivistes de l'époque, au premier rang desquels on trouve Poincaré et surtout Kronecker, lequel n'hésitera pas à attaquer personnellement Cantor, bloquant ses publications dans le Journal de Crelle, et allant même jusqu'à tenter de bloquer sa carrière. Malgré cela, Cantor obtient un poste de professeur à temps plein à l'université de Halle en 1879.

Vient l'année 1884, et la première crise de dépression de Cantor. Celui-ci perd alors la force d'affronter ses opposants, et n'a plus la confiance d'entreprendre de nouvelles recherches. Il s'intéresse alors à l'histoire, à la littérature anglaise, intervenant notamment dans une crise contemporaine autour des pièces de Shakespeare. En 1899, il obtient un poste administratif consacré à des tâches routinières qui lui permet de renoncer à son enseignement. Peu à peu, ses crises se font de plus en plus fréquentes et longues, et il passe une large partie de son temps à soigner sa schizophrénie dans des maisons de repos. Il décède le 6 juin 1918 à Halle.

Les travaux de Cantor ont eu beaucoup d'influence au XXè s. On citera d'abord, en 1903, un paradoxe soulevé par Russell dans la théorie naïve des ensembles : si A est l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes, A est-il contenu dans A? Les logiciens surmonteront cette difficulté conceptuelle, sans rien changer des conclusions de Cantor. Citons aussi le problème de l'hypothèse du continu. Un des derniers axes de recherche de Cantor était d'estimer le nombre d'éléments de la droite réelle. Plus précisément, Cantor souhaitait prouver l'absence de tout ensemble dont le cardinal soit strictement compris entre le cardinal des entiers et celui des réels. C'est ce qu'on appelle l'hypothèse du continu . Tous les travaux de Cantor et de ses successeurs pour confirmer ou infirmer l'hypothèse du continu furent vains, et pour cause : en 1963, le logicien américain Cohen prouva que, dans une théorie standard des ensembles, l'hypothèse du continu est indécidable. On peut très bien supposer qu'elle est vraie ou qu'elle est fausse sans obtenir de contradiction dans la théorie bibmath

La théorie des ensembles s'élargit, et débouche sur la Théorie des Infinis, à l'occasion d'une magnifique correspondance entre Cantor et Dedekind. Ils se posent le problème de savoir s'il y a autant d'éléments (au sens de l'existence d'une bijection du premier ensemble dans le second), dans N que dans NxN, dans N que dans Q, dans N que dans R (*), dans R que dans RxR etc. Ils arrivent à des conclusions qui les étonnent beaucoup, car nul avant eux n'avait sérieusement réfléchi aux sous-ensembles de la droite réelle. (La réponse à ces questions d'existence est affirmative dans tous les cas, sauf dans le cas (*).) Cantor élargit cette problématique en une Théorie des Infinis. Il définit entre autres les Cardinaux Infinis, deux ensembles pouvant être mis en bijection l'un avec l'autre correspondant à un même cardinal, par définition même de ce dernier concept. Le résultat négatif précédent peut s'énoncer ainsi : N et R n'ont pas le même cardinal.mathematiques

L'origine Juive de Cantor
Une lettre ecrite par Georg Cantor a Paul Tannery en 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondance, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p. 306) explique que les grands parents paternels de Cantor etaient membres de la Sephardic Jewish community of Copenhagen