LEOPOLD KRONECKER

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MATHS
GROUPE


Le mathématicien allemand Kronecker est , avec Kummer , l'un des plus grands arithméticiens du XIXe siècle



" Dieu fit les nombres naturels tout le reste est l'œuvre de l'homme "



Leopold Kronecker 1823 Liegnitz, Prusse - 1891 Berlin, Allemagne

Leopold Kronecker est né à Liegnitz -actuellement Legnica, en Pologne, dans une famille aisée. Il a la chance d'avoir parmi ses enseignants au lycée Kümmer, qui détecte ses dons scientifiques et le pousse à étudier les mathématiques. C'est ce que fait Kronecker à l'université de Berlin, de 1841 à 1845, suivant aussi des cours d'astronomie et de philosophie. Il soutient son doctorat en 1845 sous la direction de Dirichlet. Sa thèse est prometteuse, mais Kronecker retourne dans sa ville natale afin de faire prospérer les affaires familiales. Il en profite aussi pour se marier, et s'il n'abandonne pas complètement les mathématiques, elles ne sont plus pour lui qu'un loisir.

En 1855, sa fortune est suffisante pour le mettre à l'abri du besoin jusqu'à la fin de ses jours. Il retourne alors à Berlin pour reprendre ses recherches. Il y retrouve Kümmer, et y rencontre Weierstrass. Si Kronecker n'enseigne pas, ses recherches progressent très rapidement. Le travail de Kronecker en théorie algébrique des nombres est majeur. Il est le premier à comprendre toute la profondeur du travail de Galois. Il est aussi l'un des mathématiciens qui achevèrent la construction de l'algèbre linéaire et multilinéaire initiée par Cayley et Grassmann. Il introduit aussi ce qu'il appelle un système modulaire, notion similaire au concept d'idéal introduit à la même époque par Dedekind.

En 1861, Kronecker est élu membre de l'Académie des Sciences de Berlin, et à partir de 1863, il enseigne dans l'Université de cette ville. A compter de 1870, Kronecker défend une vision constructiviste des mathématiques qui l'éloigne de ses contemporains. Il affirme la prééminence des nombres entiers, au point de revendiquer la citation suivante :
Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est fabriqué par l'homme.
Ainsi, Kronecker ne croit pas en l'existence des nombres transcendants, il rejette violemment la théorie des ordinaux transfinis de Cantor, et refuse la construction des réels proposée par Weierstrass. Cela le conduit à une vive opposition avec Cantor, Dedekind et même Weierstrass qui fut pourtant un de ses amis. Kronecker est très influent à Berlin, et il essaie de retarder la publication des travaux de ses opposants. Certains lui attribue même une part de responsabilité dans la dépression de Cantor. En un sens, Kronecker est un précurseur de Poincaré et de Brouwer.bibmath

D'origine Juive Kronecker décède en 1891 à Berlin. Un an auparavant, il s'était converti au protestantisme.

Kronecker se situe à contre-courant de la tendance dominante (animée notamment par Weierstrass, Cantor et Dedekind). Kronecker définit le concept de nombre de façon purement mathématique . Certaines de ses positions apparaissent aujourd'hui comme des anticipations de principes constructivistes ou intuitionnistes du XXe siècle.

Kronecker s'opposa vigoureusement à la façon dont Georg Cantor mène ses travaux sur l'infini, estimant que la démarche de celui-ci manque de rigueur. Et on connaît la réponse célèbre de David Hilbert :' Personne ne nous chassera du paradis que Cantor nous a créé.'


maths.amatheurs : Malgré son refus de certaines idées, comme l'existence des nombre transcendants, la théorie des ordinaux transfinis (Cantor) ou la construction des réels de Weierstrass, il fut néanmoins l'un des premiers à comprendre Galois. Il eut aussi un grand apport en algèbre, finissant les travaux de Cayley et Grassman. Il donna la première définition axiomatique d'un groupe (1870) et créa la notion de système modulaire, qui correspond aux idéaux inventés en même temps par Dedekind. Il défend une théorie constructiviste des mathématiques


Symbole de Kronecker
En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec, et est considéré comme une convention d'écriture plutôt que comme une fonction



Jacqueline Boniface Université de Toulouse Le Mirail
Le Point de vue de Leopold Kronecker sur le fondement des mathématiques.
section: History of Mathematics

Le point de vue de Kronecker sur le fondement des mathématiques, essentiellement transmis par ses détracteurs, est encore mal connu et souvent jugé rétrograde.
Malgré les travaux de réhabilitation d'Harold Edwards, on croit encore,en effet, pouvoir le résumer par la célèbre formule ' Dieu a inventé les nombres,le reste est l'œuvre de l'homme ', et l'image du mathématicien berlinois reste marquée par le terme de Verbotdiktator par lequel le désignait Hilbert. Pourtant,Kronecker a très clairement exprimé, dans son dernier cours du semestre d'été 1891, une conception originale du fondement des mathématiques, qui est loin de se limiter à des interdits ou de se réduire à une formule. Les idées exprimées dans ce cours ont suscité, au dire de Kronecker lui-même, de nombreuses réactions dans la communauté mathématique. Elles montrent surtout qu'avant Poincaré,au moment même où se mettait en place la réponse, devenue standard, au problème des fondements, une autre réponse était avancée. C'est donc à partir de ce cours encore inédit que nous nous proposons d'exposer les idées de Kronecker sur le sujet.
Comme le mentionne déjà la dernière partie du titre de ce cours ' Sur le concept de nombre dans la mathématique ',Kronecker précise que c'est bien dans la mathématique, et non dans une autre discipline, qu'il entend fonder le nombre. Il s'oppose ainsi à toutes les tentatives de fondement du nombre, et par suite des mathématiques, dans d'autres disciplines, comme la philosophie ou la logique.
De plus, la définition qu'il propose évite tout usage, explicite ou implicite,de la notion d'ensemble infini,qu'il juge trop abstraite.Elle prend pour base l'expérience et pour outils des notions strictement mathématiques. L'expérience à partir de laquelle les nombres (cardinaux) seront définis est le dénombrement, et ce qui rend possible ce dénombrement sont les nombres ordinaux. La suite des nombres ordinaux nous étant donnée, nous pouvons alors dénombrer des collections d'objets en utilisant ces nombres et définir les nombres proprement dits :
les nombres cardinaux. Les notions mathématiques utilisées pour cette définition sont celles d'équivalence, d'invariant et de représentant. Il y a certains points communs entre la définition de Kronecker et celles de Frege ou de Russell, notamment
l'utilisation d'une relation d'équivalence entre collections. Mais au lieu de définir le nombre comme la classe de toutes les collections équivalentes à une collection donnée (Russell), ou comme l'extension du concept ' équinumérique (gleichzählig) à un concept donné' (Frege), Kronecker considère, pour établir sa définition, un représentant de la classe des collections équivalentes. Ce recours à un représentant a pour avantage, selon Kronecker, de donner un fondement plus ' réel ' au concept de nombre. Il permet en outre d'éviter les difficultés logiques liées aux ensembles infinis - on trouvera, par exemple, semblable recours dans la fonction de choix de Hilbert. Nous préciserons dans l'exposé les options philosophiques de Kronecker, clairement énoncées dans le cours, qui l'ont conduit à sa dénition du concept de nombre, et les choix méthodiques qui en découlent.
Et nous montrerons que ces options, et notamment la naturalité qu'il attribue au concept de nombre, l'ont amené à éviter toute extension de ce concept, et à limiter le domaine des nombres aux seuls entiers positifs. Cette conception du nombre fut qualifiée de' dogmatique' par Hilbert dans la mesure où elle suppose donnée la suite des nombres ordinaux. Mais l'idée d'un fondement absolu, sans un donné supposé au départ, n'est-elle pas illusoire ?


Lire : L’infini, c’est long, surtout vers la fin…