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ALGEBRE ARABE
Al-Samawal illustre Mathematicien Juif converti a l'Islam
Peut etre que la Lettre de Maimonide le concernait comme apostat
IBN YAHYA al-Maghribi Al-Samawal est né en 1130 à Bagdad et mort en 1180 à Maragha en Iran. Son père Abul-Abbas Yahya al-Maghribi était un juif de religion et littérature. Abul-Abbas était né à Fez au Maroc, et s'était déplacé plus tard à Bagdad où il vivait au moment de la naissance d'Al-Samawal. La mère d'Al-Samawal, Anna Isaac Levi, s'était déplacée d'Al Basra en Irak. Certainement, Al-Samawal a été élevé dans une famille qui valorisait la culture et le savoir. Ainsi, le premier sujet qui l'a intéressé était la médecine. Peut-être cette attraction principale pour la médecine provenait-elle du fait que l'un de ses oncles était un médecin.
Pendant qu'il commençait à étudier la médecine, Al-Samawal commençait également à s'intéresser aux mathématiques. Il avait environ treize ans quand il a commencé sérieusement les études, débutant par des méthodes hindoues de calcul ainsi que les tables astronomiques. A ce moment-là, Bagdad n'était pas un grand centre pour les études mathématiques, et Al-Samawal avait bientôt maîtrisé toutes les mathématiques que ses professeurs lui ont enseignées. Ces professeurs avaient couvert des sujets comprenant une introduction d'analyse de l'algèbre élémentaire, et la géométrie des premiers livres sur les éléments d'Euclide.
Afin de pousser ses études mathématiques plus loin, Al-Samawal a dû étudier tout seul. Il a lu les travaux d'Abu Kamil, d'Al-Karaji et d'autres grands mathématiciens. Il n'avait alors que dix-huit ans, il avait lu presque toute la littérature mathématique disponible. Le travail qui l'impressionna était celui d'Al-Karaji. Pourtant il n'était pas complètement satisfait. Son traité le plus célèbre al-Bahir fi'l-jabr, qui signifie "le brillant dans l'algèbre", a été écrit quand Al-Samawal avait seulement dix-neuf ans. C'est un travail de grande importance pour les idées originales qu'il contient et également pour l'information qu'il enregistre au sujet des travaux d'Al-Karaji qui sont maintenant perdus.
Le traité se compose de quatre livres : (1) sur des hypothèses, la multiplication, la division et l'extraction des racines, (2) sur l'extraction des quantités inconnues, (3) sur des grandeurs irrationnelles, et (4) sur la classification des problèmes.
Les prédécesseurs d'Al-Samawal avaient commencé à développer ce qui est appelé par les historiens d'aujourd'hui "l'arithmétisation de l'algèbre". En fait, Al-Samawal était le premier à donner à ce développement une description précise quand il a écrit :
...avec le traitement des inconnues à l'aide de tous les outils arithmétiques, de la même manière que l'arithméticien traite le connu.
Ceci suggérera fortement aux mathématiciens d'aujourd'hui qu'Al-Samawal ait développé l'étude des boucles polynomiales. En effet, c'est une description juste du travail qu'il entreprenait. Dans le premier livre de al-Bahir, il définit des puissances x à la puissance 1, x à la puissance (2), x à la puissance 3..., x à la puissance -1, x à la puissance -2, x à la puissance -3... Après qu'il ait défini des polynômes, Al-Samawal décrit l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des polynômes. Il a également donné des méthodes pour l'extraction des racines des polynômes.
Al-Samawal ne pourrait pas avoir décrit des opérations arithmétiques sur les puissances de l'inconnu sans avoir développé un concept des nombres négatifs. Il avait raffiné les idées de ses prédécesseurs dans une forme qui ne serait pas donnée par des mathématiciens européens jusqu'à plusieurs siècles plus tard. Il a également utilisé le zéro (0) dans ses inscriptions de calculs :
Si nous soustrayons un nombre positif d'une puissance vide, le même nombre négatif demeure.
Par ceci, Al-Samawal signifie, en notation moderne :
0 - a = - a
Il ajouta :
Si nous soustrayons le nombre négatif d'une puissance vide, le même nombre positif demeure.
Encore en notation moderne, cela signifie :
0 - (- a)= a
Par ailleurs, la multiplication des nombres négatifs a été complètement comprise par Al-Samawal. Ainsi, il a écrit : ...le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est un nombre négatif, et celui d'un nombre négatif par un nombre négatif est un nombre positif.
Dans le Livre 2 de al-Bahir d'Al-Samawal, ce dernier décrit la théorie d'équations du second degré mais, plutôt étonnamment, il a donné des solutions géométriques à ces équations en dépit des méthodes algébriques décrites complètement par Al-Khawarizmi, Al-Karaji, et d'autres. Al-Samawal a également décrit la solution d'équations indéterminées telles que celle qui consiste à trouver x de telle façon que axn est un carré, et à trouver x tel que axn + bxn-1 est un carré. Aussi, dans ce livre, Al-Samawal décrit le théorème du binôme où les coefficients sont donnés par le triangle de Pascal. La méthode est attribuée par Al-Samawal à Al-Karaji et fournit le seul compte rendu survivant de ce travail remarquable.
Peut-être un des exploits les plus remarquables paraissant dans le Livre 2 est l'usage précoce par Al-Samawal d'une forme d'induction. Ce qui fait pour démontrer un argument pour n = 1, prouve alors le cas n = 2 basé sur ce résultat pour n = 1, prouve alors le cas n = 3 basé sur ce résultat pour n = 2, continue autour de n = 5 avant de remarquer que le processus peut continuer indéfiniment. Bien que ce ne soit pas une induction adéquate, c'est un pas majeur pour la compréhension des preuves par induction. On doit commenter qu'il n'était pas le premier à utiliser cette forme de raisonnement récursive, depuis qu'Al-Karaji avait utilisé des méthodes semblables. Le résultat dans le Livre 2 dont Al-Samawal lui-même était le plus fier est :
1 à la puissance 2 + 2 à la puissance 2 + 3 à la puissance 2 + ... + n à la puissance 2 = n(n+1)(2n+1)/6.
Ce résultat ne paraît pas dans les premiers textes.
Le Livre 3 contient une description de la façon d'effectuer l'arithmétique avec des nombres irrationnels. Il suit le Livre X des éléments d'Euclide, bien qu'une exposition très fine de ces idées contient peu de ce qui est original. Un résultat ici qui a particulièrement plu à Al-Samawal était son calcul de comment rationaliser 30/(2+5+6). Al-Karaji avait échoué pour résoudre ce problème, ce qui explique l'intérêt d'Al-Samawal pour ce dernier et le fait qu'il a voulu particulièrement le résoudre.
Le dernier livre de al-Bahir contient un exemple intéressant d'un problème dans les combinatoriques, à savoir trouver dix inconnus donnés des 210 équations qui donnent leurs sommes, prenant 6 à la fois. Bien sûr, un tel système de 210 équations n'a pas besoin d'être logique et Al-Samawal a donné 504 conditions nécessaires pour que le système soit logique. Dans le Livre 4, Al-Samawal classe aussi des problèmes dans des problèmes nécessaires, à savoir ceux qui peuvent être résolus ; les problèmes possibles, à savoir qu'on ne sait pas si on peut en trouver une solution, et les problèmes impossibles qui sont expliqués comme suit :
...si quelqu'un peut supposer l'existence de leur solution, cette existence mènerait à une absurdité.
Après avoir écrit al-Bahir, Al-Samawal a voyagé dans plusieurs pays, y compris l'Irak, la Syrie, le Kohistan (région montagneuse au Pakistan et en Afghanistan) et l'Azerbaïdjan (nord-ouest de l'Iran). On sait de ses propres écritures qu'il était à Maragheh (en Azerbaïdjan) le 8 novembre 1163, à cette date Al-Samawal s'était converti à l'Islam. Il rend compte ce 8 novembre 1163 que l'Islam était le plus satisfaisant. Il a écrit la Réfutation Décisive des Chrétiens et des Juifs.
Le père d'Al-Samawal avait trouvé la conversion de son fils à l'Islam comme étant une expérience douloureuse, et Al-Samawal ne souhaitait pas blesser son père. Ainsi, il a différé sa conversion durant quatre années, par la suite il a écrit à son père qu'il avait ses raisons pour son changement de la religion juive à l'Islam. En ce temps, il voyageait beaucoup à Alep, au nord de la Syrie, et son père s'arrangea pour le voir lorsqu'il reçut sa lettre. Cependant, le père d'Al-Samawal est mort en voyage avant de voir son fils.
On avait mentionné que Al-Samawal a été formé en médecine dans sa jeunesse. En fait, il pratiquait ses habiletés médicales dan ses voyages et est devenu tout à fait célèbre pour ces compétences dans cette région. Plusieurs souverains étaient ses patients. Il raconte dans ses écrits qu'il a développé des cures miraculeuses. Malheureusement, on n'a pas de détails de ceux-ci qui ont survécu.
Le seul travail médical effectué par Al-Samawal qui a survécu est essentiellement un manuel qui inclut beaucoup d'histoires érotiques. Le travail expose le fait que Al-Samawal était un bon observateur scientifique dans ses descriptions de plusieurs maladies. En particulier, Al-Samawal montrait qu'il était intéressé par les aspects psychologiques de la maladie. Son remède pour la dépression est :
...maisons bien allumées, la vue du cours d'eau et la verdure, un bain chaud et la musique.
La plupart des travaux d'Al-Samawal n'ont pas survécu, à part quelques écrits mathématiques, mais ceux-ci sont des travaux élémentaires d'une relative importance. Ils contiennent le travail sur les fractions avec des exemples qui montrent comment exprimer la somme de fractions telles que 80/(3 x7 x 9 x10) avec des numérateurs 1. Cela donne :
80/(3 x 7 x 9 x 10) = 1/(3 x 10) + 1/(3 x7 x 9) + 1/(3 x 9 x 10)
Le travail réalisé ici utilise le système sexagésimal, montrant que bien que les mathématiciens de cette période favorisaient le système décimal, l'usage commercial favorisait le système sexagésimal. Les textes élémentaires d'Al-Samawal étaient clairement des livres d'enseignement.
Un autre de ses travaux qui a survécu est : l'exposition des erreurs des astrologues qui, comme le titre le suggère, critique la valeur scientifique d'astrologie.
lacitoyennete
«Qu'après avoir cultivé mon esprit en sciences mathématiques, surtout la géométrie et ses modes d'argumentation, je me mis à me poser des questions au sujet des divergences confessionnelles et doctrinales qui existent entre les humains. J'en suis arrivé à ce que la Raison doive régir les principes de notre Monde. Car, si ce n'était la Raison qui nous aurait inspiré de suivre les Prophètes et les Envoyés de Dieu, nous ne les aurions pas cru dans tout ce que la tradition nous en avait rapporté; (...), et parce que, si l'imitation des ancêtres suffisait comme preuve de la véracité de ce qu'on reçoit d'eux, il s'ensuivrait nécessairement d'admettre, comme vraies, les thèses des païens» (Tawîla, éd. 1989:14, trad. de l'Ar.)
orbinah
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